Italiano [English below]
I fisici Fabrizio Tamburini e Ignazio Licata hanno proposto una rivoluzionaria lettura del più grande problema matematico di tutti i tempi, l’ipotesi di Riemann. E lo fanno tramite l’esotica “torre di Majorana”. La teoria di particelle a infinite componenti proposta da Ettore Majorana nel 1932 dovette cedere il passo al mare negativo di P.A.M. Dirac, ma oggi intuizioni e frammenti di quella concezione si ritrovano nella ricerca sui neutrini, sulle quasi-particelle e nei territori della matematica pura.
Uno strano mare
Il maggior problema della fisica teorica negli anni ’20 consisteva nel fondere le simmetrie spaziotemporali della relatività ristretta con la meccanica quantistica. L’equazione d’onda di Schrödinger, che si mostrò subito di enorme utilità pratica, lasciava fuori la relatività. Un altro tentativo di rendere relativisticamente invariante la fisica quantistica, offerto dall’equazione di Klein-Gordon, modificava però drasticamente l’interpretazione probabilistica della funzione d’onda, uno dei capisaldi della teoria.
Sembrava una via senza uscita, una ferita aperta in quello che dovrebbe essere il quadro unitario della conoscenza del mondo fisico. Una soluzione matematicamente “molto elegante” fu proposta da P. A. M. Dirac a partire dal 1928 [P.A.M. Dirac, Proceedings of the Royal Society A117 (1928) 610; P.A.M. Dirac, Proceedings of the Royal Society A133 (1931) 610.].
La richiesta di bellezza matematica fu sempre molto importante per Dirac ed Einstein, ed in generale lo è per quasi tutti i fisici, anche se la natura ama nascondersi, come scrisse Eraclito, e la bellezza formale di cui sono intrise le nostre teorie è spesso destinata all’insuccesso, come racconta il recente libro di Sabine Hossenfelder Lost in Math: How Beauty Leads Physics Astray. Non sembrava però il caso dell’equazione di Dirac che riusciva ad armonizzare funzione d’onda ed interpretazione probabilistica nello spazio-tempo di Einstein.
Queste operazioni di ristrutturazione matematica in territori fondazionali in genere implicano fruttuose previsioni ed anche un costo da pagare. Nel caso della teoria Dirac coincidono: per far tornare i conti, introdusse un mare di energia negativa in cui vivono i doppi allo specchio delle particelle conosciute, che allora si contavano ancora sulle dita di una mano. L’elettrone aveva dunque un gemello negativo, di massa uguale ma spin e carica opposti. È raro che una previsione teorica basata su criteri estetici riceva una rapida conferma, ma nel caso di Dirac le prove dell’esistenza dell’antimondo arrivarono molto presto, sin dalle osservazioni sui raggi cosmici di C. Anderson nel 1932, confermate poche settimane dopo da P. Blackett e G. Occhialini. L’esistenza del positrone (elettrone allo specchio, con carica opposta) era incontrovertibile, ed oggi ci appare persino molto familiare: pensiamo alla PET (tomografia a emissione di positroni) che oggi è uno strumento diagnostico a disposizione in ogni struttura sanitaria.
Ma tra Roma e Lipsia, un giovane fisico teorico siciliano la pensava diversamente. Era Ettore Majorana.
| LA TEORIA Circa 80 anni fa Ettore Majorana teorizza l’esistenza di una particella straordinaria, che è contemporaneamente particella e antiparticella di se stessa. Un neutrino, che per le sue proprietà coinciderebbe con la sua antiparticella, l’antineutrino. La torre di Majorana è una sequenza illimitata, o persino infinita, di particelle distinte per spin e massa. In questi ultimi anni le idee di Majorana hanno trovato un nuovo approdo nella fisica della materia condensata, quelle in cui un grandissimo numero di costituenti che interagiscono “fanno la differenza” |
Sono nato a Catania il 5 agosto 1906
Nel maggio 1932 Ettore Majorana presenta una richiesta di finanziamento presso il Consiglio Nazionale delle Ricerche per un viaggio di studio in Germania e Danimarca caldeggiato da Enrico Fermi, ed allega la seguente nota biografica:
Sono nato a Catania il 15 agosto 1906. Ho seguito gli studi classici conseguendo la licenza liceale nel 1923; ho poi atteso regolarmente agli studi di ingegneria in Roma fino alla soglia dell’ultimo anno. Nel 1928, desiderando occuparmi di scienza pura, ho chiesto e ottenuto il passaggio alla Facoltà di Fisica e nel 1929 mi sono laureato in Fisica Teorica sotto la direzione di S. E. Enrico Fermi svolgendo la tesi “La teoria quantistica dei nuclei radioattivi” e ottenendo i pieni voti e la lode. Negli anni successivi ho frequentato liberamente L’Istituto di Fisica di Roma seguendo il movimento scientifico e attendendo a ricerche teoriche di varia indole. Ininterrottamente mi sono giovato della guida sapiente e animatrice di S. E. il prof. Enrico Fermi.
Tra queste righe sembra esserci tutto quel che sappiamo di Majorana, un carattere schivo, una certa noncuranza nel descrivere le sue ricerche, la stessa che gli faceva gettare via il pacchetto vuoto di “Macedonia” dove aveva scritto rapidamente le formule per chiarire un problema sotto gli occhi perplessi dei “ragazzi di via Panisperna”. E l’ironia sotto traccia, visto che Majorana non fu mai davvero uno dei ragazzi di Fermi. Nel 1926 il fisico e senatore Orso Maria Corbino aveva istituito per Fermi la prima cattedra di Fisica Teorica, successivamente Fermi e Corbino iniziarono un’attività di reclutamento che portò a via Panisperna Edoardo Amaldi, Franco Rasetti, Emilio Segrè e più tardi Bruno Pontecorvo e Oscar D’Agostino. Fu Segrè nel 1928 a far incontrare Majorana con Fermi e Rasetti, ma sin dall’inizio l’indole lo portava più spesso in biblioteca che in laboratorio. Il contributo al gruppo è testimoniato da una serie di articoli di spettroscopia e teoria atomica, tra i quali va ricordato Atomi orientati in campo magnetico variabile (Nuovo Cim 9, 43–50,1932), dove è descritto l’effetto di modificazione delle righe spettrali oggi chiamato Majorana-Brossel, e lo spin flip (ribaltamento) dell’elettrone.
Si ricorda anche una vivace discussione in cui, commentando i risultati dei coniugi Joliot-Curie, commenta: “Che stupidi! Hanno scoperto il protone neutro e non se ne accorgono!” Lo spirito critico gli vale l’appellativo di “Grande Inquisitore” nella chiesetta della nuova fisica dove Fermi è il Papa, e Rasetti il Cardinale Vicario. Pur attento agli sviluppi sperimentali della fisica atomica, Majorana è interessato agli aspetti fondazionali della teoria quantistica, in particolare al ruolo della simmetria negli approcci gruppali di H. Weyl, E. Wigner, ed alle formulazioni più astratte e potenti della teoria, quelle di P.A.M. Dirac e W. Heisenberg. Durante il 1933 Majorana visita Lipsia e conosce Heisenberg, con il quale instaura un buon rapporto, tale da fargli superare la ritrosia a pubblicare: vede così la luce il lavoro sulla teoria dei nuclei che contiene “le forze di scambio di Heisenberg- Majorana”. Si tratta di una delle prime affermazioni di un nuovo stile di spiegazione tipicamente quantistico, poiché non si tratta di forze classiche ma di un effetto dovuto alla simmetria di scambio tra particelle indistinguibili. Al ritorno il rapporto con l’istituto diventa irregolare come forse quello con la fisica. Ma nel 1937 accetta la cattedra di Fisica Teorica “per chiara fama” a Napoli, dove tiene un corso sulla Meccanica Quantistica con uno stile estremamente moderno. Scompare il 26 Marzo 1938 sulla rotta Palermo-Napoli per entrare in quella che lo scrittore argentino Ricardo Piglia direbbe la macchina delle storie, protagonista di saggi, inchieste, opere cinematografiche e liriche e romanzi, a cominciare dall’ormai classico La scomparsa di Majorana (1975) di Leonardo Sciascia.
| LE PAROLE DI ENRICO FERMI Al mondo ci sono varie categorie di scienziati; gente di secondo e terzo rango, che fan del loro meglio ma non vanno molto lontano. C’è anche gente di primo rango, che arriva a scoperte di grande importanza, fondamentali per lo sviluppo della scienza. Ma poi ci sono i geni, come Galileo e Newton. Ebbene, Ettore era uno di quelli (Enrico Fermi) |
La torre a infinite componenti
Nel giornale di fisica Il Nuovo Cimento (9,335,1932), Majorana aveva pubblicato la sua soluzione al problema dal titolo Teoria relativistica di particelle con momento intrinseco arbitrario. Majorana è critico nei confronti dell’approccio di Dirac perché gli stati ad energia negativa conducono a problemi di auto-energia, infiniti che oggi vengono trattati con il gruppo di rinormalizzazione, che media le fluttuazioni di struttura su scale diverse [vedi. K. Wilson “Problemi fisici con più scale di grandezza”, Le Scienze 1979]. Inoltre Majorana ha idee molto diverse su come coniugare le simmetrie relativistiche con la funzione d’onda. Dirac assume la simmetria relativistica come metodo ed estetica, in particolare quella tra passato e futuro, ed inscrive nel cono-luce le funzioni d’onda delle particelle. Pur nel rispetto del formalismo relativistico, per Majorana il fatto fisico centrale è il principio d’indeterminazione, come si evince anche dalle postume Lezioni all’Università di Napoli [2007], ed è già consapevole della necessità di costruire un’elettrodinamica quantistica coerente. Si libera con disinvoltura della simmetria passato-futuro in modo da sopprimere il mare di stati ad energia negativa e amplia le relazioni relativistiche per scrivere una funzione d’onda ad infinite componenti che vale per ogni valore di spin. In questo modo definisce la moderna accezione della fisica teorica delle particelle elementari come studio generale del contesto in cui inserire i singoli casi empirici.
Il lavoro ridefinisce la struttura del vuoto (lo stato di minima energia) che può immaginarsi come una serie di stati impilati uno sopra l’altro in relazione ai livelli energetici, motivo per cui viene detta torre di Majorana, una sequenza illimitata, o persino infinita, di particelle distinte per spin e massa. Majorana lo considerava il suo lavoro più importante, e per un periodo parlò ironicamente delle osservazioni sul positrone finché non fu più possibile ignorarle. A quel punto la teoria di Majorana risultava una speculazione senza riscontro nel mondo fisico, ed è possibile ipotizzare che fu questo uno dei motivi che portò prima all’allontanamento dal gruppo e poi alla scomparsa del 1938. Ma nel 1937 esce improvvisamente dalla crisi e rientra in gioco con un lavoro spettacolare, che sarà forse poco compreso ma gli frutterà la cattedra di Fisica Teorica a Napoli per meriti straordinari. Si tratta della “Teoria Simmetrica dell’Elettrone e del Positrone” [Il Nuovo Cimento, Vol. 14, pp. 171-184].
Majorana prende atto dell’esistenza del positrone, ma ribadisce la sua insoddisfazione per l’approccio di Dirac, e costruisce una teoria in cui suggerisce che particella ed antiparticella potrebbero essere aspetti diversi di uno stesso stato. A tal fine costruisce una descrizione a componenti finite che fa uso di una rappresentazione reale delle matrici di Dirac. In questo modo Majorana recupera in parte la tesi della torre ed anticipa alcune idee chiave della “democrazia nucleare” di G. Chew e delle teorie supersimmetriche e delle stringhe; si tratta di un approccio algebrico che, per dirla con Yuval Neeman, può definirsi “spectrum-generating-groups”, in cui le scelte di simmetria fissano la forma generale delle equazioni. In breve il lavoro finì nel ripostiglio delle cose matematicamente interessanti. In effetti la teoria simmetrica vale per il fotone e il pione neutro, che appartengono alla famiglia dei bosoni, ma incontra problemi con i fermioni non neutri. Un fermione ed un anti-fermione non coincidono. Straordinaria eccezione, e problema ancora aperto, è costituita dal neutrino.
Neutrini nel tempo
Tra le particelle il neutrino è sicuramente il più elusivo. Dovremmo dirlo al plurale, perché esistono tre sapori di neutrino: uno associato all’elettrone, uno al muone ed un altro alla particella tau. Muone e tau sono parenti molto massivi dell’elettrone, e tutti sono leptoni, particelle che “sentono” la forza elettromagnetica e quella debole. Il neutrino ha massa piccolissima e come sappiamo i tre sapori convivono quantisticamente oscillando dall’uno all’altro, come stabilì Bruno Pontecorvo nel 1957. Cerchiamo di capire in che modo un neutrino potrebbe coincidere con la sua antiparticella. Al tempo di Ettore una reazione nucleare era ben nota, il decadimento beta, per cui un neutrone fuori dal nucleo si “sgretola” in un elettrone, un protone ed un neutrino. In effetti fu lo studio di questa reazione a farne intuire l’esistenza.
Secondo Dirac nel decadimento beta dev’essere emesso un antineutrino per rispettare il conteggio dei leptoni in gioco (zero leptoni all’inizio ed alla fine perché un elettrone di materia più un antineutrino è come dire 1-1=0). Una delle idiosincrasie del neutrino però è di essere massimamente chirale, ossia se riflesso in un ideale specchio matematico è sinistrorso, mai destrorso (proprio nel senso che diamo alle mani, la destra non è sovrapponibile alla sinistra ma combaciano). A questa particolarità l’approccio di Dirac non offre risposte, ma quello di Majorana si, ed è pure una soluzione sorprendente. Utilizziamo la visione offerta dai diagrammi di Feynman (fig. 1), per cui un’antiparticella è una particella che viaggia indietro nel tempo. In questa concezione non c’è nulla di strano, per intenderci alla Benjamin Button del racconto di Scott Fitzgerald che da vecchio ridiventa bambino. Bisogna ricordare che ciò che conta in fisica sono gli scambi di energia, ed una legge fisica è qualcosa che estrae ciò che non varia “qui” e “là”, “prima” e “dopo”.
Fig. 1
[ITA] Diagramma di Feynman di un processo di creazione-annichilazione. Un positrone è un elettrone che viaggia indietro nel tempo. Lo scontro con l’elettrone produce un fotone ad alta energia gamma (o viceversa).
[ENG] Feynman diagram of a creation-annihilation process. A positron is an electron that travels back in time. The collision with the electron produces a high gamma energy photon (or vice versa).
Cosa significa? Nella teoria quantistica ci sono onde a tempo immaginario ed altre stranezze. Queste possono essere risolte considerando le particelle non come oggetti ma come “possibilità” che si localizzano in eventi nel tempo, come suggerisce la Event-Based Quantum Mechanics sviluppata da uno degli autori e L. Chiatti. Se accettiamo questa visione, dobbiamo ammettere che la teoria di Majorana svela gli aspetti quantistici sottili del neutrino, il meno “oggetto” tra le particelle, evento molto difficile da vedere. La sfida tra Dirac e Majorana è ancora aperta nei laboratori di tutto il mondo per osservare una variante del decadimento beta. L’esistenza del neutrino di Majorana avrebbe un impatto formidabile sulla fisica delle particelle e la cosmologia. Ma non è solo nei campi “fondamentali” che le idee di Majorana si stanno rivelando attuali.
Vuoti strutturati
In questi ultimi anni le idee di Majorana hanno trovato un nuovo approdo nella fisica della materia condensata, quelle in cui un grandissimo numero di costituenti che interagiscono “fanno la differenza” e determinano proprietà inedite e macroscopiche (superconduttori, superfluidi, ferromagneti, scienza delle superfici). Si è visto sperimentalmente che la materia, in stati particolari, può comportarsi come un vuoto strutturato, in cui sopra un “livello zero” si impilano livelli energetici simili alla torre in forma di pseudo-particelle, eccitazioni collettive quantizzate.
Queste possono mostrare pure un comportamento simile al fermione di Majorana, come accade nelle giunzioni Josephson ed in altri materiali sulla frontiera del quantum computing. Anche una catena di poche decine di atomi in un particolare intervallo energetico può comportarsi come un singolo fermione di Majorana.
Un caso al quale l’autore ha lavorato di recente è quello dei vortici ottici, “fusilli di luce” che si incastonano in una sequenza infinita secondo lo schema di Majorana secondo la velocità di propagazione e il momento angolare totale [F. Tamburini, B. Thidé, I. Licata, F. Bouchard and E. Karimi Phys. Rev. A 103, 2021] (fig.2). Questi oggetti possono essere usati come sonde per esplorare il mondo fisico dalla scala particellare a quella cosmologica [F. Tamburini, I.Licata, and B. Thidé, “Relativistic Heisenberg principle for vortices of light from Planck to Hubble scales”, Phys. Rev. Res- 2, 2020]. Su un fronte più speculativo esiste la possibilità che la torre catturi qualche aspetto profondo del “conteggiare” e dunque dei numeri primi, e possa essere collegata all’ipotesi di Riemann ed alla funzione zeta, che ha già parentele importanti con la fisica quantistica dimostrate da M. Berry. Sembra insomma che dal “fallimento” di due teorie siano nate un gran numero di idee che stanno fecondando aree molto diverse della fisica. Majorana è scomparso nel mistero, ma le sue idee sono ancora con noi.
Fig.2
[ITA] Vortici ottici quantizzati impilati in una torre di Majorana
[ENG] Quantized optical vortices stacked in a Majorana tower
Majorana e la funzione Zeta di Riemann
I numeri primi e i loro misteri sono considerati il “Santo Graal” della matematica pura, divenuto nel tempo sempre più prezioso e ambito per le connessioni peculiari tra sottigliezze concettuali che riguardano la natura stessa della matematica e le straordinarie possibilità applicative in crittografia e comunicazioni. I cinesi li chiamavano “numeri virili”, che resistono ad ogni tentativo di essere scomposti in un prodotto di numeri più piccoli, veri e propri atomi del sistema numerico in grado di generare tutti gli altri. Un insieme infinito che si nasconde dentro l’infinito dei numeri naturali con una distribuzione apparentemente caotica, termine che appare decisamente eretico nel contesto esatto dell’aritmetica. Raccogliendo l’eredità di Eulero e Gauss, Bernhard Riemann enunciò la sua famosa ipotesi sulla distribuzione dei primi nel 1859 affermando che la loro disposizione sulla retta dei numeri non era affatto casuale ma seguiva una precisa linea critica definita dagli zeri di una funzione complessa, detta funzione Zeta. Congettura che da allora si è sempre dimostrata solida attraverso le verifiche ma non è mai stata dimostrata, nonostante sia stata annoverata da David Hilbert tra i grandi problemi della matematica al convegno internazionale che aprì il ‘900, e più recentemente è stata posta dal Clay Institute una taglia di un milione di dollari per chi riuscisse a risolvere il problema.
Oggi l’ipotesi di Riemann si arricchisce di nuove sfumature che rimettono in gioco i rapporti tra il mondo astratto della matematica e la descrizione della natura. Due fisici, Fabrizio Tamburini (Venezia) ed Ignazio Licata (Palermo) hanno recentemente dimostrato nel loro articolo “Majorana quanta, string scattering, curved spacetimes and the Riemann Hypothesis”, depositato nel database ArXiv il 2 settembre, una connessione strutturale tra l’ipotesi di Riemann ed una costruzione del 1932 del geniale Ettore Majorana, il fisico del gruppo di Fermi misteriosamente scomparso tra Palermo e Napoli nel 1938. Si tratta della torre a infinite componenti, che descrive una serie di livelli energetici impilati uno sopra l’altro in ordine crescente di massa e spin, di fatto la prima essenziale fusione tra relatività e meccanica quantistica. Appassionati studiosi dell’eredità di Majorana e già autori di alcuni lavori sulle applicazioni della torre in materia condensata, Tamburini e Licata hanno esplorato la struttura della torre ed hanno scoperto una correlazione puntuale con le caratteristiche formali della funzione zeta.
Già Riemann aveva dimostrato che ogni numero primo, uno zero della funzione zeta, corrisponde nel paesaggio complesso ad un’onda, un indizio quantistico che era già stato raccolto da Sir Michel Berry negli anni ’80. La torre di Majorana può essere paragonata ad un telaio che produce particelle bradioniche (velocità inferiori a quelle della luce), tachioniche (superiori) e luxoniche (particelle con velocità della luce), e tutte le loro interazioni possibili. Tamburini e Licata hanno dimostrato che le particelle della torre e l’infinito numero delle loro combinazioni calcolate tramite la matrice S (scattering) corrispondono esattamente agli zeri della funzione zeta. Per essere più esatti, la caratteristica dei livelli di Majorana di essere impilati uno sopra l’altro corrisponde al cuore della congettura di Riemann che i primi sono distribuiti lungo una retta definita sul piano complesso. L’ipotesi di Riemann ne esce dunque rafforzata con un’inedita prospettiva sul mondo fisico, mostrando una sorprendente musica che associa gli atomi del mondo e quelli dell’aritmetica.
Bibliografia
Edoardo Amaldi, “La Vita e l’opera di Ettore Majorana (1906-1938)”, Scienze e lettere, Roma 2006
Erasmo Recami, Il caso Majorana. Epistolario, documenti, testimonianze, Di Renzo editore, Roma 2011
Joao Maguejo, La particella mancante. Vita e mistero di Ettore Majorana, genio della fisica, Rizzoli, Milano 2010
Salvatore Esposito, The Physics of Ettore Majorana, Cambridge Univ. Press, 2015
Gli autori
Fabrizio Tamburini è un astrofisico presso lo ZKM di Karlsruhe. Si occupa di relatività generale, vorticità elettromagnetiche, astrofisica e fisica quantistica. Fra i riconoscimenti internazionali ottenuti per la ricerca, nel 2018 gli è stata assegnata la Ångström Lecture ad Uppsala, in Svezia, supportata dalla Royal Swedish Academy of Sciences e dal Nobel Institute for Physics. Nel 2021 ha ricevuto una Honorable Mention dalla Gravity Research Foundation. Ha oltre un centinaio di contributi scientifici e brevetti. Si occupa anche di alcuni aspetti della teoria dei numeri con collaborazioni fra arte e scienza.
Ignazio Licata è fisico teorico presso l’Institute for Scientific Methodology (ISEM), di Palermo, la School of Advanced International Studies on Theoretical and Nonlinear Methodologies of Physics, Bari, e l’ International Institute for Applicable Mathematics and Information Sciences (IIAMIS), B.M. Birla Science Centre, Hyderabad, India.Le sue ricerche riguardano i fondamenti delle teorie fisiche, le origini quantistiche dell’universo e la fisica dell’emergenza. Ha oltre 200 lavori tra articoli di ricerca e curatele. Nel 2008 riceve il Premio “Le Veneri” a Parabita ( Lecce) per l ‘attività di seeding culturale sui temi dell’interdisciplinarietà, e nel 2012 il premio per la Best Lecture “Quantum origin of time” alla International Conference on the Concept of Time, Al Ain (UAE). È stato ospite al Festival di Filosofia (2004 e 2011), e si occupa attivamente dei rapporti tra arte, scienza e letteratura.
Physicists Fabrizio Tamburini and Ignazio Licata propose a revolutionary reading of the greatest mathematical problem of all time, the Riemann hypothesis. And they do it through the exotic “Majorana tower”. The symmetrical theory proposed by Ettore Majorana in 1932 had to give way to the negative sea of P.A.M. Dirac, but today intuitions and fragments of that conception can be found in research on neutrinos, quasi-particles and in the grail of pure mathematics.
A strange sea
The major problem of theoretical physics in the 1920s consisted in merging the spacetime symmetries of special relativity with quantum mechanics. Schrödinger’s wave equation, which immediately proved to be of enormous practical utility, left relativity out. Another attempt to make quantum physics relativistically invariant, offered by the Klein-Gordon equation, drastically changed the probabilistic interpretation of the wave function, one of the cornerstones of the theory.
It seemed like a dead end, an open wound in what should be the unitary framework of knowledge of the physical world. A mathematically “very elegant” solution was proposed by P. A. M. Dirac starting from 1928 [P.A.M. Dirac, Proceedings of the Royal Society A117 (1928) 610; P.A.M. Dirac, Proceedings of the Royal Society A133 (1931) 610.].
The request for mathematical beauty was always very important for Dirac and Einstein, and in general it is for almost all physicists, even if nature loves to hide itself, as Heraclitus wrote, and the formal beauty of which our theories are imbued is often destined to failure, as told by Sabine Hossenfelder’s recent book Lost in Math: How Beauty Leads Physics Astray. However, it did not seem the case of the Dirac equation which was able to harmonize wave function and probabilistic interpretation in Einstein’s space-time.
These mathematical restructuring operations in foundational territories generally involve fruitful forecasts and also a cost to pay. In the case of the Dirac theory they coincide: to make up the accounts, it introduced a sea of negative energy in which the doubles of the known particles in the mirror, which at the time could still be counted on the fingers of one hand, live. The electron therefore had a negative twin, of equal mass but opposite spin and charge. It is rare for a theoretical prediction based on aesthetic criteria to receive rapid confirmation, but in Dirac’s case the evidence for the existence of the antiworld came very early, starting with C. Anderson’s cosmic ray observations in 1932, confirmed a few weeks later by P. Blackett and G. Occhialini. The existence of the positron (electron in the mirror, with opposite charge) was incontrovertible, and today it even appears very familiar to us: think of PET (positron emission tomography) which today is a diagnostic tool available in every healthcare facility.
But between Rome and Leipzig, a young Sicilian theoretical physicist thought differently. It was Ettore Majorana.
| THE THEORY About 80 years ago Ettore Majorana theorized the existence of an extraordinary particle, which is both a particle and an antiparticle of itself: a neutrino, which due to its properties would coincide with its antiparticle, the antineutrino. The Majorana tower is an unlimited, or even infinite, sequence of particles distinguished by spin and mass. In recent years Majorana’s ideas have found a new landing in the physics of condensed matter, those in which a huge number of interacting constituents “make the difference” |
I was born in Catania on August 5, 1906
In May 1932 Ettore Majorana presented a request for funding to the National Research Council for a study trip to Germany and Denmark supported by Enrico Fermi, and attached the following biographical note:
I was born in Catania on August 15, 1906. I followed my studies classics by earning a high school diploma in 1923; I then regularly waited for engineering studies in Rome until the threshold of the last year. In 1928, wishing to deal with pure science, I applied for and obtained the passage to the Faculty of Physics and in 1929 I graduated in Theoretical Physics under the direction of S. E. Enrico Fermi carrying out the thesis “The quantum theory of radioactive nuclei” and obtaining the full votes and praise. In the following years I freely attended the Physics Institute of Rome following the scientific movement and attending to theoretical research of various kinds. Uninterruptedly I benefited from the wise and animating guide of S. E. prof. Enrico Fermi.
Between these lines there seems to be everything we know about Majorana, a shy character, a certain carelessness in describing his research, the same that made him throw away the empty package of “Macedonia” where he had quickly written the formulas to clarify a problem below the perplexed eyes of the “boys of via Panisperna”. And the irony in the background, since Majorana was never really one of Fermi’s boys.
In 1926 the physicist and senator Orso Maria Corbino had established the first chair of Theoretical Physics for Fermi, subsequently Fermi and Corbino began a recruiting activity that led to via Panisperna Edoardo Amaldi, Franco Rasetti, Emilio Segrè and later Bruno Pontecorvo and Oscar D’Agostino. It was Segrè in 1928 who brought Majorana together with Fermi and Rasetti, but from the beginning his temperament brought him more often to the library than to the laboratory. The contribution to the group is evidenced by a series of articles on spectroscopy and atomic theory, among which it is worth mentioning “Atoms oriented in a variable magnetic field” (Nuovo Cimento 9, 43-50,1932), where the effect of modification of the spectrals lines is described, now called Majorana-Brossel, and the spin flip of the electron. There is also a lively discussion in which, commenting on the results of the Joliot-Curie spouses, he comments: “How stupid! They have discovered the neutral proton and do not notice it!” The critical spirit earned him the nickname of “Grand Inquisitor” in the church of the new physics where Fermi is the Pope, and Rasetti the Cardinal Vicar. While attentive to the experimental developments of atomic physics, Majorana is interested in the foundational aspects of quantum theory, in particular the role of symmetry in the group approaches of H. Weyl, E. Wigner, and the more abstract and powerful formulations of the theory, those of P.A.M. Dirac and W. Heisenberg. During 1933 Majorana visits Leipzig and meets Heisenberg, with whom he establishes a good relationship, such as to make him overcome his reluctance to publish: thus he sees the light of the work on the theory of nuclei that contains the exchange forces of Heisenberg-Majorana. This is one of the first statements of a new typically quantum style of explanation, since it is not a question of classical forces but of an effect due to the exchange symmetry between indistinguishable particles. Upon returning, the relationship with the institute becomes as irregular as perhaps that with physics. But in 1937 he accepted the chair of Theoretical Physics “for clear fame” in Naples, where he held a course on Quantum Mechanics with an extremely modern style. He disappeared on March 26, 1938 on the Palermo-Naples route to enter what the Argentine writer Ricardo Piglia would call the machine of stories, the protagonist of essays, investigations, cinematographic and lyric works and novels, starting with the now classic The disappearance of Majorana (1975) by Leonardo Sciascia.
| THE WORDS OF ENRICO FERMI There are various categories of scientists in the world; second and third rank people, who do their best but don’t get very far. There are also people of the first rank, who arrive at discoveries of great importance, fundamental for the development of science. But then there are the geniuses, like Galileo and Newton. Well, Ettore was one of those (Enrico Fermi) |
The infinite component tower
In the physics journal Il Nuovo Cimento (9,335,1932), Majorana had published his solution to the problem entitled Relativistic Theory of Particles with Arbitrary Intrinsic Moment. Majorana is critical of Dirac’s approach because negative energy states lead to infinite self-energy problems that today are treated with the renormalization group, which mediates structure fluctuations on different scales [see. K. Wilson “Physical problems with multiple scales of magnitude”, The Sciences 1979]. Furthermore, Majorana has very different ideas on how to combine relativistic symmetries with the wave function. Dirac assumes relativistic symmetry as a method and aesthetic, in particular that between past and future, and inscribes the wave functions of the particles in the light-cone. While respecting the relativistic formalism, for Majorana the central physical fact is the uncertainty principle, as can also be seen from the posthumous Lectures at the University of Naples [2007], and he is already aware of the need to build a coherent quantum electrodynamics. It liberates itself with ease from the past-future symmetry in order to suppress the sea of negative energy states and expands the relativistic relations to write a wave function with infinite components that holds for every spin value. In this way he defines the modern meaning of the theoretical physics of elementary particles as a general study of the context in which to insert the individual empirical cases.
The work redefines the structure of the void (the state of minimum energy) which can be imagined as a series of states stacked on top of each other in relation to energy levels, which is why it is called the Majorana tower, an unlimited, or even infinite sequence. , of particles distinct by spin and mass. Majorana considered it his most important work, and for a time he spoke ironically about the positron observations until it was no longer possible to ignore them. At that point, Majorana’s theory turned out to be a speculation without comparison in the physical world, and it is possible to hypothesize that this was one of the reasons that led first to the removal from the group and then to the disappearance of 1938. But in 1937 he suddenly emerged from the crisis and returned at stake with a spectacular job, which will perhaps be little understood but will yield him the chair of Theoretical Physics in Naples for extraordinary merits. This is the “Symmetric Theory of the Electron and the Positron” [Il Nuovo Cimento, Vol. 14, pp. 171-184].
Majorana acknowledges the existence of the positron, but reiterates his dissatisfaction with Dirac’s approach, and builds a theory in which he suggests that particle and antiparticle could be different aspects of the same state. To this end he constructs a finite component description that makes use of a real representation of the Dirac matrices. In this way Majorana partially recovers the thesis of the tower and anticipates some key ideas of the “nuclear democracy” of G. Chew and of supersymmetric and string theories; it is an algebraic approach that, in the words of Yuval Neeman, can be defined as “spectrum-generating-groups”, in which the choices of symmetry fix the general form of the equations. In short, the work ended up in the closet of mathematically interesting things. In fact, the symmetric theory holds for the photon and the neutral pion, which belong to the boson family, but encounters problems with non-neutral fermions. A fermion and an anti-fermion do not coincide. An extraordinary exception, and an open problem, is the neutrino.
Neutrinos over time
Among the particles, the neutrino is certainly the most elusive. We should say it in the plural, because there are three neutrino flavours: one associated with the electron, one with the muon and another with the tau particle. Muon and tau are very massive relatives of the electron, and all are leptons, particles that “feel” the electromagnetic force and the weak one. The neutrino has a very small mass and, as we know, the three flavours coexist quantistically, oscillating from one to the other, as established by Bruno Pontecorvo in 1957. Let us try to understand how a neutrino could coincide with its antiparticle. At the time of Ettore a nuclear reaction was well known, the beta decay, whereby a neutron outside the nucleus “crumbles” into an electron, a proton and a neutrino. In fact, it was the study of this reaction that made us understand its existence.
According to Dirac, in beta decay an antineutrino must be emitted in order to respect the lepton count into consideration (zero leptons at the beginning and at the end because an electron of matter plus an antineutrino is like saying 1-1 = 0). One of the idiosyncrasies of the neutrino, however, is that it is maximally chiral, that is, if reflected in an ideal mathematical mirror it is left-handed, never right-handed (precisely in the sense that we give to the hands, the right cannot be superimposed on the left but match). Dirac’s approach offers no answers to this particularity, but Majorana’s does, and it is also a surprising solution. We use the view offered by the Feynman diagrams (fig. 1) for which an antiparticle is a particle that travels back in time. In this conception there is nothing strange, to be clear to the Benjamin Button of the story by Scott Fitzgerald who from old becomes a child again. It must be remembered that what matters in physics are the exchanges of energy, and a physical law is something that extracts what does not vary “here” and “there”, “before” and “after”.
Fig. 1
[ITA] Diagramma di Feynman di un processo di creazione-annichilazione. Un positrone è un elettrone che viaggia indietro nel tempo. Lo scontro con l’elettrone produce un fotone ad alta energia gamma (o viceversa).
[ENG] Feynman diagram of a creation-annihilation process. A positron is an electron that travels back in time. The collision with the electron produces a high gamma energy photon (or vice versa).
Structured voids
In recent years Majorana’s ideas have found a new landing in the physics of condensed matter, those in which a huge number of interacting constituents “make the difference” and determine new and macroscopic properties (superconductors, superfluids, ferromagnets, surface science ). It has been experimentally seen that matter, in particular states, can behave like a structured vacuum, in which energy levels similar to the tower stack up above a “zero level” in the form of pseudo-particles, collective quantized excitations.
These may also exhibit behaviour similar to the Majorana fermion, as occurs in Josephson junctions and other materials on the frontier of quantum computing. Even a chain of a few tens of atoms in a particular energy range can behave like a single Majorana fermion.
A case on which the author has recently worked is that of the optical vortices, “fusilli of light” which are set in an infinite sequence in the context of the Majorana scheme according to the propagation speed and the total angular momentum [F. Tamburini, B. Thidé, I. Licata, F. Bouchard and E. Karimi Phys. Rev. A 103, 2021] (fig. 2) These objects can be used as probes to explore the physical world from the particle to the cosmological scale [F. Tamburini, I. Licata, and B. Thidé, “Relativistic Heisenberg principle for vortices of light from Planck to Hubble scales”, Phys. Rev. Res- 2, 2020]. On a more speculative front there is the possibility that the tower captures some deep aspect of “counting” and therefore of prime numbers, and can be connected to the Riemann hypothesis and to the zeta function, which already has important relationships with quantum physics demonstrated by M. Berry. In short, it seems that from the “failure” of two theories a large number of ideas have been born that are fertilizing very different areas of physics. Majorana has disappeared into the mystery, but his ideas are still with us.
Fig.2
[ITA] Vortici ottici quantizzati impilati in una torre di Majorana
[ENG] Quantized optical vortices stacked in a Majorana tower
Majorana’s climb towards the grail of mathematics: The Riemann Hypotheses
Prime numbers and their mysteries are considered the “Holy Grail” of pure mathematics, which over time has become increasingly precious and coveted due to the peculiar connections between conceptual subtleties concerning the very nature of mathematics and the extraordinary applicative possibilities incryptography and communications. The Chinese called them “manly numbers”, which resist any attempt tobe broken down into a product of smaller numbers, real atoms of the numerical system capable of generating all the others. An infinite set that hides itself within the infinity of natural numbers with an apparently chaotic distribution, a term that appears decidedly heretical in the exact context of arithmetic.
Picking up the legacy of Euler and Gauss, Bernhard Riemann enunciated his famous hypothesis on the distribution of primes in 1859 stating that their arrangement on the line of numbers was not at all random but followed a precise critical line defined by the zeros of a complex function, called Zeta function. A conjecture that since then has always proved solid through verifications but has never been proved, despite being counted by David Hilbert among the great problems of mathematics at the international conference that opened the 1900s, and more recently it was posed by the Clay Institute a million dollar bounty for anyone who could solve the problem.
Today the Riemann hypothesis is enriched with new nuances that put into play the relationships between the abstract world of mathematics and the description of nature. Two physicists, Fabrizio Tamburini (Venice when in Karlsruhe) and Ignazio Licata (Palermo) recently demonstrated in their article “Majorana quanta, string scattering, curved spacetimes and the Riemann Hypothesis”, deposited in the ArXiv database on September 2, a structural connection between the Riemann hypothesis and a construction of 1932 by the brilliant Ettore Majorana, the physicist of the Fermi group who mysteriously disappeared between Palermo and Naples in 1938.
It is the tower with infinite components, which describes a series of energy levels stacked one above the other in increasing order of mass and spin, in fact the first essential fusion between relativity and quantum mechanics. Passionate scholars of Majorana’s legacy and already authors of some works on the applications of the tower in condensed matter and photonics, Tamburini and Licata explored the structure of the tower and discovered a precise correlation with the formal characteristics of the zeta function.
Riemann had already shown that every prime number, a zero of the zeta function, corresponds in the complex landscape to a wave, a quantum clue that had already been collected by Sir Michel Berry in the1980s.
The Majorana tower can be compared to a frame that produces bradionic (speeds slower than those of light), tachyon (higher) and luxonic (particles with the speed of light) particles, and all their possible interactions (by means of S matrix). Tamburini and Licata have shown that the particles of the tower and the infinite number of their combinations correspond exactly to the zeros of the zeta function. The characteristic of the energy levels of the tower to be stacked one on top of the other corresponds to the heart of the Riemann conjecture: the zeros are arranged on a straight line defined on the complex plane. The Riemann hypothesis is therefore strengthened with an unsold perspective on the physical world, showing a surprising music that associates the atoms of the world and those of arithmetic.
Photo: Fabrizio Tamburini (ZKM) & Ignazio Licata (ISEM)
Bibliography
Edoardo Amaldi, “La Vita e l’opera di Ettore Majorana (1906-1938)”, Scienze e lettere, Roma 2006
Erasmo Recami, Il caso Majorana. Epistolario, documenti, testimonianze, Di Renzo editore, Roma 2011
Joao Maguejo, A Brilliant Darkness: The Extraordinary Life and Mysterious Disappearance of Ettore Majorana, the Troubled Genius of the Nuclear Age, Basic Books, 2009
Salvatore Esposito, The Physics of Ettore Majorana, Cambridge Univ. Press, 2015
The authors
Ignazio Licata is a theoretical physicist at the Institute for Scientific Methodology (ISEM), of Palermo, the School of Advanced International Studies on Theoretical and Nonlinear Methodologies of Physics, Bari, and the International Institute for Applicable Mathematics and Information Sciences (IIAMIS), BM Birla Science Center, Hyderabad, India. His research concerns the fundamentals of physical theories, the quantum origins of the universe and the physics of emergence. He has over 200 papers including research articles and curators. In 2008 he received the “Le Veneri” Prize in Parabita (Lecce) for cultural seeding activities on interdisciplinary issues, and in 2012 the prize for the Best Lecture “Quantum origin of time” at the International Conference on the Concept of Time, Al Ain (UAE). He was a guest at the Philosophy Festival (2004 and 2011), and is actively involved in the relationship between art, science and literature.
Fabrizio Tamburini is an astrophysicist collaborating at the ZKM in Karlsruhe. He works in general relativity, electromagnetic vorticity, astrophysics and quantum physics. Among the international awards obtained for his research, in 2018 he was awarded the Ångström Lecture in Uppsala, Sweden, supported by the Royal Swedish Academy of Sciences and the Nobel Institute for Physics. In 2021 he received an Honorable Mention from the Gravity Research Foundation. He has over a hundred scientific contributions and patents. He also works in some aspects of number theory and also works in art and science.
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